Задачи на вероятность
Задачи на вероятность с собеседований — Байес, кости, биномиальное, Пуассон, coupon collector.
12 вопросов
MiddleТеорияОчень частоБаза мошенников 1%, recall 90%, доля ложных срабатываний 5% — шанс, что помеченный действительно мошенник?
База мошенников 1%, recall 90%, доля ложных срабатываний 5% — шанс, что помеченный действительно мошенник?
Каждую ветвь взвешивают по базовой доле — истинные 0.01 × 0.90 = 0.009, ложные 0.99 × 0.05 = 0.0495. Апостериорно 0.009 / (0.009 + 0.0495) ≈ 0,154, около 15%. Даже при recall 90% меток-ошибок больше, ведь мошенничество редко.
Типичные ошибки
- ✗Называть recall (
0,90) апостериорной вероятностью, игнорируя редкость мошенничества - ✗Пропускать базовую долю, из-за чего ложные срабатывания огромной группы честных не взвешиваются
- ✗Путать
P(flag | fraud)с искомымP(fraud | flag), разворачивая условную вероятность
Уточняющие вопросы
- →Насколько должен вырасти recall, чтобы метка чаще была мошенничеством, чем нет, при прочих равных?
- →Как изменится апостериорная вероятность, если базовую долю мошенников поднять до 10%?
MiddleТеорияОчень частоТри пользователя конвертируются независимо, p = 0.2 — шанс хотя бы одной конверсии, и почему не 3 × 0.2?
Три пользователя конвертируются независимо, p = 0.2 — шанс хотя бы одной конверсии, и почему не 3 × 0.2?
Через дополнение — P(хотя бы один) = 1 − P(никто) = 1 − 0.8³ = 1 − 0,512 = 0,488, около 48,8%. 3 × 0.2 = 0,6 неверно, ведь складывает пересекающиеся события и дважды учитывает случаи с двумя-тремя конверсиями.
Типичные ошибки
- ✗Складывать
0,2трижды, что при большемnпревышает 1 и не может быть вероятностью - ✗Перемножать три доли, считая
все конвертируютсявместохотя бы один - ✗Забывать, что
хотя бы одинпроще всего как дополнение кникто не конвертируется
Уточняющие вопросы
- →При каком
nвеличина1 − 0.8^nвпервые превышает 90%? - →Когда сумма вероятностей событий даёт верный ответ вместо дополнения?
JuniorТеорияЧастоПять посетителей независимо конвертируются с p = 0.2 — шанс, что сконвертируются ровно двое?
Пять посетителей независимо конвертируются с p = 0.2 — шанс, что сконвертируются ровно двое?
Число успехов в фиксированных независимых испытаниях даёт биномиальная формула C(n,k) · p^k · (1−p)^(n−k). Здесь C(5,2) · 0.2² · 0.8³ = 10 · 0,04 · 0,512 ≈ 0,205, около 20,5%. C(5,2) = 10 — выбор двоих из пяти.
Типичные ошибки
- ✗Опускать комбинаторный множитель
C(n,k), забывая про разные способы, какими двое из пяти могут быть успехами - ✗Забывать множитель
(1−p)^(n−k)для посетителей, которые не конвертируются - ✗Читать
ровно двоекак долю2/5, а не как биномиальную вероятность
Уточняющие вопросы
- →Какова вероятность, что сконвертируется хотя бы один из пяти посетителей?
- →Как формула упрощает ожидаемое число конверсий до
n · p?
JuniorТеорияЧастоМонета выпадает орлом с вероятностью 0.3 — сколько в среднем бросков до первого орла?
Монета выпадает орлом с вероятностью 0.3 — сколько в среднем бросков до первого орла?
Число бросков до первого успеха — геометрическое распределение, среднее которого 1/p. При p = 0.3 это 1/0.3 ≈ 3,33 броска. Чем реже успех, тем дольше ждать — при p = 0.1 в среднем 10 бросков.
Типичные ошибки
- ✗Называть сам
pвместо обратной величины1/pкак ожидаемое ожидание - ✗Брать
1/(1 − p)(доля неудач) вместо1/p(доля успехов) - ✗Игнорировать смещение и ставить 2 броска, будто монета честная
Уточняющие вопросы
- →Какова вероятность, что первый орёл выпадет ровно на третьем броске?
- →Почему геометрическое распределение не помнит прошлых неудачных бросков?
JuniorТеорияЧастоСтраница даёт в среднем 2 регистрации в час — по счётной модели Poisson, шанс нуля регистраций за час?
Страница даёт в среднем 2 регистрации в час — по счётной модели Poisson, шанс нуля регистраций за час?
Число независимых событий за фиксированный интервал — распределение Poisson, P(k) = λ^k e^(−λ) / k!, где λ — среднее за интервал. При λ = 2 ноль регистраций даёт P(0) = e^(−2) ≈ 0,135, около 13,5%. Среднее и дисперсия равны λ.
Типичные ошибки
- ✗Путать среднее
λ = 2с вероятностью и считать1 − λ - ✗Моделировать счёт монетой на событие вместо формулы Poisson
- ✗Забывать, что
P(0) = e^(−λ)— случайk = 0функции масс Poisson
Уточняющие вопросы
- →Какова вероятность увидеть ровно три регистрации за этот час?
- →Когда биномиальный счёт сходится к приближению Poisson?
JuniorТеорияЧастоБросают две честные кости — какова вероятность, что их сумма не меньше 10?
Бросают две честные кости — какова вероятность, что их сумма не меньше 10?
Всего 6 × 6 = 36 равновероятных упорядоченных исходов. Суммы 10, 11, 12 дают (4,6)(5,5)(6,4), (5,6)(6,5), (6,6) — шесть исходов. Значит, вероятность 6/36 = 1/6 ≈ 16,7%. Считать упорядоченные пары.
Типичные ошибки
- ✗Считать 11 значений суммы (2–12) равновероятными вместо 36 пар граней
- ✗Считать
(4,6)и(6,4)за один исход, недосчитывая упорядоченное пространство - ✗Полагать, что каждому исходу нужны обе кости ≥ 5, теряя
(4,6)и(6,4)
Уточняющие вопросы
- →Какова вероятность, что сумма ровно 7 — самое вероятное значение?
- →Как изменится ответ, если спросить про сумму строго больше 10?
JuniorТеорияЧастоИз колоды в 36 карт вытягивают две карты — какова вероятность, что обе черви?
Из колоды в 36 карт вытягивают две карты — какова вероятность, что обе черви?
В колоде 36 карт девять червей, берут их без возвращения, поэтому две вероятности перемножают — 9/36 × 8/35 = 2/35 ≈ 5,7%. То же самое — благоприятные пары ко всем парам, C(9,2)/C(36,2) = 2/35.
Типичные ошибки
- ✗Считать вытягивания независимыми и возводить
9/36в квадрат вместо8/35для второй карты - ✗Полагать, что в колоде из 36 карт 13 червей (их девять)
- ✗Складывать две вероятности вытягивания вместо перемножения
Уточняющие вопросы
- →Как изменится ответ, если первую карту вернуть в колоду перед вторым вытягиванием?
- →Какова вероятность, что обе карты одной масти, какой бы масти ни было?
MiddleТеорияЧастоИз 100 монет одна двусторонняя. Вы берёте одну и бросаете 10 орлов подряд — шанс, что она поддельная?
Из 100 монет одна двусторонняя. Вы берёте одну и бросаете 10 орлов подряд — шанс, что она поддельная?
Приор поддельной — 1/100 с правдоподобием 1, ведь она всегда даёт орла; честная даёт десять орлов с (1/2)^10 = 1/1024. Апостериорно (1/100) / (1/100 + (99/100)(1/1024)) = 1024/1123 ≈ 0,912, около 91%. Серия перевешивает приор.
Типичные ошибки
- ✗Считать приор
1/100ответом, игнорируя отношение правдоподобия от серии - ✗Приравнивать
1/1024честной монеты к апостериорной для поддельной - ✗Делить ответ 50 на 50, как только свидетельство склоняется, игнорируя приор
Уточняющие вопросы
- →Сколько орлов подряд нужно, чтобы апостериорная вероятность впервые превысила 50%?
- →Как изменится ответ, если двусторонних монет 5 из 100, а не одна?
MiddleТеорияЧастоВ комнате 23 человека — какова вероятность, что хотя бы у двоих совпадают дни рождения, и почему так высоко?
В комнате 23 человека — какова вероятность, что хотя бы у двоих совпадают дни рождения, и почему так высоко?
Около 50,7%. Через дополнение — P(все различны) = 365/365 × 364/365 × … × 343/365 ≈ 0,493, поэтому совпадение ≈ 0,507. Кажется высоким, ведь считаем пары, а не людей — 23 человека дают C(23,2) = 253 пары.
Типичные ошибки
- ✗Сравнивать 23 с 365 напрямую вместо подсчёта
C(23,2) = 253пар - ✗Считать шанс совпасть с одной фиксированной датой, а не любой пары
- ✗Полагать, что до 50% нужно ~183 человека
Уточняющие вопросы
- →Примерно сколько людей поднимают вероятность общего дня рождения выше 99%?
- →Как приём с дополнением упрощает расчёт здесь?
MiddleТеорияЧастоСреди ушедших 70% пользовались функцией X — доказывает ли, что X причина оттока? Какая вероятность нужна?
Среди ушедших 70% пользовались функцией X — доказывает ли, что X причина оттока? Какая вероятность нужна?
Нет. Это P(used X | churned), а нужна обратная — P(churn | used X) против P(churn | не use X). Если X и так пользуются 70% всех, ушедшие повторяют базовую долю — корреляция, не причинность.
Типичные ошибки
- ✗Читать
P(used X | churned)какP(churn | used X), разворачивая условную вероятность - ✗Не сравнивать с
P(churn | не use X)или общей базовой долей использования X - ✗Прыгать от наблюдаемой связи прямо к причинному выводу без эксперимента
Уточняющие вопросы
- →Какая контрольная группа и базовая доля выделили бы, вправду ли X повышает отток?
- →Какой эксперимент сдвинул бы это от корреляции к причинному ответу?
MiddleТеорияЧастоВ телезадаче Монти Холл вы выбираете 1 из 3 дверей; ведущий открывает проигрышную — менять выбор и почему?
В телезадаче Монти Холл вы выбираете 1 из 3 дверей; ведущий открывает проигрышную — менять выбор и почему?
Менять — выигрыш 2/3 против 1/3, если остаться. Первый выбор верен в 1/3 случаев, поэтому приз за двумя другими дверями в 2/3. Ведущий, всегда открывая проигрышную, стягивает 2/3 на оставшуюся дверь.
Типичные ошибки
- ✗Считать, что две закрытые двери дают симметричные
50/50, игнорируя осознанный выбор ведущего - ✗Забывать, что ведущий никогда не открывает дверь с призом, а это и сдвигает шансы
- ✗Делить высвобожденную
1/3поровну до1/2вместо стягивания на дверь для смены
Уточняющие вопросы
- →Как меняются шансы смены при 100 дверях, если ведущий открывает 98 проигрышных?
- →Почему знание ведущего, где приз, важно для результата?
SeniorТеорияРедкоЛутбокс выдаёт 1 из 8 различных предметов равновероятно — сколько в среднем боксов, чтобы собрать все 8?
Лутбокс выдаёт 1 из 8 различных предметов равновероятно — сколько в среднем боксов, чтобы собрать все 8?
Около 21,7 бокса. Имея k различных предметов, бокс даёт новый с вероятностью (8−k)/8, поэтому ожидание 8/(8−k). Сумма даёт 8 · (1 + 1/2 + … + 1/8) = 8 · H₈ ≈ 21,7. Один последний предмет в среднем 8 боксов.
Типичные ошибки
- ✗Умножать
8 × 8 = 64, считая каждый предмет независимым 8-боксовым ожиданием - ✗Отвечать просто
8, игнорируя растущий шанс дублей - ✗Упускать, что ожидание одного последнего предмета в среднем 8 боксов
Уточняющие вопросы
- →Как растёт ожидание, когда число различных предметов
nстановится большим? - →Какой этап сбора вносит больше всего боксов в итог?
